数学マラソン 東大入試問題

これができれば、あなたも東大合格？

箱が３つあります。

ボールが、６ｍ個（ｍは自然数）あります。

箱もボールも、それぞれを区別しないとして、

ボールの入り方は、何通りあるでしょう？

素朴な問題ですね。

さて、今回の数学マラソンで、これに挑戦したのは、

　　A君：　某有名進学校の３年生

　　B君：　東大経済学部４年生

　　C君：　東大経済学部４年生

　　ぼく：　このレベルの問題は、およそ２０年ぶりだなあ


A君は、さすが受験生。パターンをよく知っていますね。

ボールと、仕切りに注目して、重複順列で始めました。


残り３人は、そう簡単には決めつけない。

まずは実験です。

ｍ＝１として、

（０，０，６）、（０，１，５）、（０，１，４）、。。。。と書き出し始めました。


A君：　重複順列として、
　　（６ｍ＋２）！
--------------------
　　　２！６ｍ！

ここまでは良いのですが、そして、それを計算して、

１８ｍ＾２＋９ｍ＋１

まではいいのですが、これでいいのかどうなのか。。。


Ｂ君：　３箱とも同数の場合と、２箱同数の場合と、全部バラバラの場合で場合分けを始めました。

　　i )　３箱とも同数：　　（6m/3, 6m/3, 6m/3）　　の１通り

　　ii)　２箱同数：　　　　ここで手こずっているようでした。

　　iii)　全部バラバラ：　ここでも手こずっているようでした。


C君：　やはり重複順列に注目して、ただし、それでもどういうものを数え過ぎているのか。。。


ぼく：　最初は、素直に、それぞれの球が３通りの箱を選ぶから、３＾６ｍ。
　　　　だけど、そっからどうしようか。。。


　　　　次に、０の数に注目してみました。

　　i) ０が２個：　　　　　（0, 0, 6m/2）　　　１通り

　　ii) ０が１個：　　　　　（0, 1, 6m-1）
　　　　　　　　　　　　　　 （0, 2, 6m-2）

　　　　　　　　　　　　　　 （0, 6m-2, 2）
　　　　　　　　　　　　　　 （0, 6m-1, 1）

　　　　　　　　　　　　　　つまり、２箱目の数が決まれば、３箱目は自動的に決まる。
　　　　　　　　　　　　　　２箱目の入り方は、6m-1通り（奇数）で、重複を除くと、3m通り

　　iii) ０が０個：　　　　　ii）の考え方を応用して。。。

　　ごりごりですが、何とかゴールまで辿り着きました！（なんとぼくだけ！）


その後、またみんなで、それぞれの考えを言いながら、

よりよい解法を探っていきました。

それについては、また書きますが、


象徴的だったのは、「数学ってこうやれば、できるようになるんですね！」

そう、数学に限らず、ぼくはこんな風に（みんなで、あーだこーだ言いながら）しか

まともに勉強しなかったし、

逆にそんな風に学校の放課後、みんなでわいわい勉強してたから、

２０年経ってもできちゃうわけです。

それは、お互いの考え方の癖もわかったり、自分では到底できないことができたり。。。

一人で苦しむのが、勉強の本来の姿ではないと思っています。

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