(数学) 小学生と、微分積分

20年後の未来のために、青山プレップスクールです。

始めに断っておきますが、ただ新しい知識を教え込みたいわけでも、
また、そのようにやっているわけでもありません。
(そんなことをやる塾があるようで、涙)

ただ、開きかけている芽には、十分な水を与えているだけ。

ーーー

さて、ということで、ひょんなことから、面白い展開になったので。

仮に、T君としておきましょう。

T君: 「学校でこの間、こんな問題をやったよ。
      『周の長さが20cmでできる長方形のうち、
面積が最大になるのは、どんな形?』」

ぼく: 「どうやったの?」

T君: 「1つずつ、調べていったよ。
縦を1としたら、横は9、すると面積は9。
縦を2としたら、横は8、すると面積は16。
縦を3としたら、横は7、すると面積は21。
縦を4としたら、横は6,すると面積は24。
縦を5としたら、横は5、すると面積は25。
縦を6としたら、横は4、すると面積は24。
ここから先は、同じように戻っていっちゃうから、
最大は、5x5=25の時で、正方形」

ぼく: 「そうだね」
(この時はまだ、ぼくはこれから先の話が、微分積分に行くなんて
思ってもみませんでした。。。(笑))


T君: 「で、ぼく気付いたんだよ」

ぼく: 「何?」

T君: 「横の長さを、1,2,3,4,5と少しずつ増やしていった時、
面積は、9,16,21,24,25となっている。
この差をとってみると、
7,5,3,1となっている。
さらにその差をとってみると、
2,2,2
これって、前にやった、階差数列だよね」

ぼく: (ぎくっ!  確かに以前、
2,4,6,8,10,・・・
これ、隣り合うどこの差を取っても2だから、
差が等しいってことで、等差数列って言うよ。
名前は今は覚えなくても良いけどね。

じゃあ、この数列にそれぞれ一定の値(たとえば10)を加えるとどうなる?
12,14,16,18,20,・・・     となって、こういうのどこの差を取っても、2だよね。
だから、これも等差数列だね。

じゃあ、1,3,7,13,21,31,・・・
これって、どんな数列だと思う?
隣同士の差を取ると、
2,4,6,8,10・・・
ってなってるね、
こういうの、階差数列って言うよ

という話はしていたのでした)

ぼく: 「良く覚えてたね!すごい発見かもね!」

T君: 「前にやった、平方数も階差数列だったよ」

ぼく: (ますます、ぎくっ!)

「そ、そうだね。
仕方ない、じゃあ、少し脱線するけど、面白い話だよ!」

「横の長さを、○とするね。すると、縦の長さは?」

T君: 「10ー○」

ぼく: 「早いね。そう。じゃあ、面積を求める式は?」

T君: 「○x(10ー○)」

ぼく: 「そうだね。その括弧を外すと?」

T君: 「○x10ー○x○
あ、平方っぽいのが出てきたね」

ぼく: 「それを、グラフで書くと、、、」
(といって、1つ1つプロットしながら、グラフを描いていきました)
「こういうの、放物線というよ。まあ、名前はまだ良いけど。
野球で、ホームランの時に、『きれいな放物線を描いて』とか聞いたことある?
ものを投げた時の軌道の形が、こんな風になるよ(空気抵抗がなければ)。
平方数も、グラフを描いてみると、放物線を逆にした形になるよ、ほら」

T君: 「どうして、平方が出てくると、放物線になるのかな?
それと、階差数列って、何か関係があるの?」

ぼく: (うーん、やっぱりそこまで来てしまったか〜。これだからT君は・・・
しょうがないな、どこまで行くか、わからないけど、
この機会だから、やってしまおうか)

ぼく: 「じゃあ、階差数列を分析してみようね。
わかりやすいから、平方数使うね。さらに、0から始めるね。
平方数を0から並べると、
0,1,4,9,16,25,36,・・・
この差を取ると、
1,3,5,7,9,11,・・・
この差を取ると、
2,2,2,2,2,・・・
となってるね。
平方数は、階差数列になってるね。

ここで、意味に戻って、日本語で考えるよ。
『平方数の列は、
増え方が、一定に割合で増えている』
って、言えるよね。
増えかたが増える、というのは、ややこしい表現だけど、大丈夫?」

T君: 「はい。じゃあ、立法数ってどうなってるんだろう?」

ぼく: 「そうくるんじゃないかと思ったよ(笑)。
じゃあ、やってみよう。
0x0x0=0
1x1x1=1
2x2x2=8
3x3x3=27
4x4x4=64
5x5x5=125
6x6x6=216
この辺にしておいて、隣同士の差を取ると、、、
1,7,19,37,61,91
この差を取ると、
6,12,18,24,30」

T君: 「あ、ここで等差数列が出てきたね!
増え方の増え方が、一定の割合で増えてるね。
じゃあ、4回掛けると、
増え方の増え方の増え方が、等差数列になっていそうだね」

ぼく: 「そうだね。さすがだね。
じゃあ、どうして同じ数を2回掛けるのと、階差数列が関係あるのか、
考えてみようか。

もう一度、
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100に戻るね。
この増え方を調べると、
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19
じゃあ、これを式で書くと、
1=1
4=1+3
9=1+3+5
16=1+3+5+7
25=1+3+5+7+9
36=1+3+5+7+9+11

     49=1+3+5+7+9+11+13
     64=1+3+5+7+9+11+13+15
     81=1+3+5+7+9+11+13+15+17
     100=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
     なんか気づいた?」

T君: 「これって、前と後ろを足して計算したよね!」

ぼく: 「そうだね。これって図形的に考えるとどうなんだっけ?」

T君: 「あ、そうか、三角形を逆向きにして足してるんだ!
     そうか、つまり面積なのか!
     面積の単位が、cm^2だったり、一番初めの問題で、面積と2乗が
     関係しているのって同じことだよね」

ぼく: 「そう、階差数列って、増え方の増え方が一定割合。
     それって、等差数列の和のような形が出てきて、
     それって、つまり面積みたいなものになる、
     ここで、数列と、2乗が関係してくるんだね!

     でも、これ、理系の東大生でも意識的に気づいていない子いるんじゃないかな~。
     すごいね!

     増え方さえわかっていれば、次の値ってわかるよね。
     これが、まあ、『積分』というやつ。聞いたことある?

     そして、その反対で、どんな増え方をしてるのかな?って調べることが、
     『微分』って言うの。
     本当は、高校の最後で習うことだけどね」

T君: 「ふー、なんだか疲れたけど、面白かった!!」



本当は、もう少し微分積分の話しは、中身まで入ったのですが、
まあこんな感じです。


本当に、いろんな生徒さんがいて、

その子が何に開きかけているのか?

どうやったら、もっと興味を持つように、置き石をできるか?


エキサイティングな毎日です!



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