（数学） 小学生と、微分積分
２０年後の未来のために、青山プレップスクールです。
始めに断っておきますが、ただ新しい知識を教え込みたいわけでも、
また、そのようにやっているわけでもありません。
（そんなことをやる塾があるようで、涙）
ただ、開きかけている芽には、十分な水を与えているだけ。
ーーー
さて、ということで、ひょんなことから、面白い展開になったので。
仮に、Ｔ君としておきましょう。
Ｔ君： 「学校でこの間、こんな問題をやったよ。
『周の長さが２０ｃｍでできる長方形のうち、
面積が最大になるのは、どんな形？』」
ぼく： 「どうやったの？」
Ｔ君： 「１つずつ、調べていったよ。
縦を１としたら、横は９、すると面積は９。
縦を２としたら、横は８、すると面積は１６。
縦を３としたら、横は７、すると面積は２１。
縦を４としたら、横は６，すると面積は２４。
縦を５としたら、横は５、すると面積は２５。
縦を６としたら、横は４、すると面積は２４。
ここから先は、同じように戻っていっちゃうから、
最大は、５ｘ５＝２５の時で、正方形」
ぼく： 「そうだね」
（この時はまだ、ぼくはこれから先の話が、微分積分に行くなんて
思ってもみませんでした。。。（笑））
Ｔ君： 「で、ぼく気付いたんだよ」
ぼく： 「何？」
Ｔ君： 「横の長さを、１，２，３，４，５と少しずつ増やしていった時、
面積は、９，１６，２１，２４，２５となっている。
この差をとってみると、
７，５，３，１となっている。
さらにその差をとってみると、
２，２，２
これって、前にやった、階差数列だよね」
ぼく： （ぎくっ！ 確かに以前、
２，４，６，８，１０，・・・
これ、隣り合うどこの差を取っても２だから、
差が等しいってことで、等差数列って言うよ。
名前は今は覚えなくても良いけどね。
じゃあ、この数列にそれぞれ一定の値（たとえば１０）を加えるとどうなる？
１２，１４，１６，１８，２０，・・・ となって、こういうのどこの差を取っても、２だよね。
だから、これも等差数列だね。
じゃあ、１，３，７，１３，２１，３１，・・・
これって、どんな数列だと思う？
隣同士の差を取ると、
２，４，６，８，１０・・・
ってなってるね、
こういうの、階差数列って言うよ
という話はしていたのでした）
ぼく： 「良く覚えてたね！すごい発見かもね！」
Ｔ君： 「前にやった、平方数も階差数列だったよ」
ぼく： （ますます、ぎくっ！）
「そ、そうだね。
仕方ない、じゃあ、少し脱線するけど、面白い話だよ！」
「横の長さを、○とするね。すると、縦の長さは？」
Ｔ君： 「１０ー○」
ぼく： 「早いね。そう。じゃあ、面積を求める式は？」
Ｔ君： 「○ｘ（１０ー○）」
ぼく： 「そうだね。その括弧を外すと？」
Ｔ君： 「○ｘ１０ー○ｘ○
あ、平方っぽいのが出てきたね」
ぼく： 「それを、グラフで書くと、、、」
（といって、１つ１つプロットしながら、グラフを描いていきました）
「こういうの、放物線というよ。まあ、名前はまだ良いけど。
野球で、ホームランの時に、『きれいな放物線を描いて』とか聞いたことある？
ものを投げた時の軌道の形が、こんな風になるよ（空気抵抗がなければ）。
平方数も、グラフを描いてみると、放物線を逆にした形になるよ、ほら」
Ｔ君： 「どうして、平方が出てくると、放物線になるのかな？
それと、階差数列って、何か関係があるの？」
ぼく： （うーん、やっぱりそこまで来てしまったか〜。これだからＴ君は・・・
しょうがないな、どこまで行くか、わからないけど、
この機会だから、やってしまおうか）
ぼく： 「じゃあ、階差数列を分析してみようね。
わかりやすいから、平方数使うね。さらに、０から始めるね。
平方数を０から並べると、
０，１，４，９，１６，２５，３６，・・・
この差を取ると、
１，３，５，７，９，１１，・・・
この差を取ると、
２，２，２，２，２，・・・
となってるね。
平方数は、階差数列になってるね。
ここで、意味に戻って、日本語で考えるよ。
『平方数の列は、
増え方が、一定に割合で増えている』
って、言えるよね。
増えかたが増える、というのは、ややこしい表現だけど、大丈夫？」
Ｔ君： 「はい。じゃあ、立法数ってどうなってるんだろう？」
ぼく： 「そうくるんじゃないかと思ったよ（笑）。
じゃあ、やってみよう。
０ｘ０ｘ０＝０
１ｘ１ｘ１＝１
２ｘ２ｘ２＝８
３ｘ３ｘ３＝２７
４ｘ４ｘ４＝６４
５ｘ５ｘ５＝１２５
６ｘ６ｘ６＝２１６
この辺にしておいて、隣同士の差を取ると、、、
１，７，１９，３７，６１，９１
この差を取ると、
６，１２，１８，２４，３０」
Ｔ君： 「あ、ここで等差数列が出てきたね！
増え方の増え方が、一定の割合で増えてるね。
じゃあ、４回掛けると、
増え方の増え方の増え方が、等差数列になっていそうだね」
ぼく： 「そうだね。さすがだね。
じゃあ、どうして同じ数を2回掛けるのと、階差数列が関係あるのか、
考えてみようか。
もう一度、
０，１，４，９，１６，２５，３６，４９，６４，８１，１００に戻るね。
この増え方を調べると、
１，３，５，７，９，１１，１３，１５，１７，１９
じゃあ、これを式で書くと、
１＝１
４＝１＋３
９＝１＋３＋５
１６＝１＋３＋５＋７
２５＝１＋３＋５＋７＋９
３６＝１＋３＋５＋７＋９＋１１
始めに断っておきますが、ただ新しい知識を教え込みたいわけでも、
また、そのようにやっているわけでもありません。
（そんなことをやる塾があるようで、涙）
ただ、開きかけている芽には、十分な水を与えているだけ。
ーーー
さて、ということで、ひょんなことから、面白い展開になったので。
仮に、Ｔ君としておきましょう。
Ｔ君： 「学校でこの間、こんな問題をやったよ。
『周の長さが２０ｃｍでできる長方形のうち、
面積が最大になるのは、どんな形？』」
ぼく： 「どうやったの？」
Ｔ君： 「１つずつ、調べていったよ。
縦を１としたら、横は９、すると面積は９。
縦を２としたら、横は８、すると面積は１６。
縦を３としたら、横は７、すると面積は２１。
縦を４としたら、横は６，すると面積は２４。
縦を５としたら、横は５、すると面積は２５。
縦を６としたら、横は４、すると面積は２４。
ここから先は、同じように戻っていっちゃうから、
最大は、５ｘ５＝２５の時で、正方形」
ぼく： 「そうだね」
（この時はまだ、ぼくはこれから先の話が、微分積分に行くなんて
思ってもみませんでした。。。（笑））
Ｔ君： 「で、ぼく気付いたんだよ」
ぼく： 「何？」
Ｔ君： 「横の長さを、１，２，３，４，５と少しずつ増やしていった時、
面積は、９，１６，２１，２４，２５となっている。
この差をとってみると、
７，５，３，１となっている。
さらにその差をとってみると、
２，２，２
これって、前にやった、階差数列だよね」
ぼく： （ぎくっ！ 確かに以前、
２，４，６，８，１０，・・・
これ、隣り合うどこの差を取っても２だから、
差が等しいってことで、等差数列って言うよ。
名前は今は覚えなくても良いけどね。
じゃあ、この数列にそれぞれ一定の値（たとえば１０）を加えるとどうなる？
１２，１４，１６，１８，２０，・・・ となって、こういうのどこの差を取っても、２だよね。
だから、これも等差数列だね。
じゃあ、１，３，７，１３，２１，３１，・・・
これって、どんな数列だと思う？
隣同士の差を取ると、
２，４，６，８，１０・・・
ってなってるね、
こういうの、階差数列って言うよ
という話はしていたのでした）
ぼく： 「良く覚えてたね！すごい発見かもね！」
Ｔ君： 「前にやった、平方数も階差数列だったよ」
ぼく： （ますます、ぎくっ！）
「そ、そうだね。
仕方ない、じゃあ、少し脱線するけど、面白い話だよ！」
「横の長さを、○とするね。すると、縦の長さは？」
Ｔ君： 「１０ー○」
ぼく： 「早いね。そう。じゃあ、面積を求める式は？」
Ｔ君： 「○ｘ（１０ー○）」
ぼく： 「そうだね。その括弧を外すと？」
Ｔ君： 「○ｘ１０ー○ｘ○
あ、平方っぽいのが出てきたね」
ぼく： 「それを、グラフで書くと、、、」
（といって、１つ１つプロットしながら、グラフを描いていきました）
「こういうの、放物線というよ。まあ、名前はまだ良いけど。
野球で、ホームランの時に、『きれいな放物線を描いて』とか聞いたことある？
ものを投げた時の軌道の形が、こんな風になるよ（空気抵抗がなければ）。
平方数も、グラフを描いてみると、放物線を逆にした形になるよ、ほら」
Ｔ君： 「どうして、平方が出てくると、放物線になるのかな？
それと、階差数列って、何か関係があるの？」
ぼく： （うーん、やっぱりそこまで来てしまったか〜。これだからＴ君は・・・
しょうがないな、どこまで行くか、わからないけど、
この機会だから、やってしまおうか）
ぼく： 「じゃあ、階差数列を分析してみようね。
わかりやすいから、平方数使うね。さらに、０から始めるね。
平方数を０から並べると、
０，１，４，９，１６，２５，３６，・・・
この差を取ると、
１，３，５，７，９，１１，・・・
この差を取ると、
２，２，２，２，２，・・・
となってるね。
平方数は、階差数列になってるね。
ここで、意味に戻って、日本語で考えるよ。
『平方数の列は、
増え方が、一定に割合で増えている』
って、言えるよね。
増えかたが増える、というのは、ややこしい表現だけど、大丈夫？」
Ｔ君： 「はい。じゃあ、立法数ってどうなってるんだろう？」
ぼく： 「そうくるんじゃないかと思ったよ（笑）。
じゃあ、やってみよう。
０ｘ０ｘ０＝０
１ｘ１ｘ１＝１
２ｘ２ｘ２＝８
３ｘ３ｘ３＝２７
４ｘ４ｘ４＝６４
５ｘ５ｘ５＝１２５
６ｘ６ｘ６＝２１６
この辺にしておいて、隣同士の差を取ると、、、
１，７，１９，３７，６１，９１
この差を取ると、
６，１２，１８，２４，３０」
Ｔ君： 「あ、ここで等差数列が出てきたね！
増え方の増え方が、一定の割合で増えてるね。
じゃあ、４回掛けると、
増え方の増え方の増え方が、等差数列になっていそうだね」
ぼく： 「そうだね。さすがだね。
じゃあ、どうして同じ数を2回掛けるのと、階差数列が関係あるのか、
考えてみようか。
もう一度、
０，１，４，９，１６，２５，３６，４９，６４，８１，１００に戻るね。
この増え方を調べると、
１，３，５，７，９，１１，１３，１５，１７，１９
じゃあ、これを式で書くと、
１＝１
４＝１＋３
９＝１＋３＋５
１６＝１＋３＋５＋７
２５＝１＋３＋５＋７＋９
３６＝１＋３＋５＋７＋９＋１１
４９＝１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３
６４＝１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５
８１＝１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５＋１７
１００＝１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５＋１７＋１９
なんか気づいた？」
Ｔ君： 「これって、前と後ろを足して計算したよね！」
ぼく： 「そうだね。これって図形的に考えるとどうなんだっけ？」
Ｔ君： 「あ、そうか、三角形を逆向きにして足してるんだ！
そうか、つまり面積なのか！
面積の単位が、ｃｍ＾２だったり、一番初めの問題で、面積と２乗が
関係しているのって同じことだよね」
ぼく： 「そう、階差数列って、増え方の増え方が一定割合。
それって、等差数列の和のような形が出てきて、
それって、つまり面積みたいなものになる、
ここで、数列と、２乗が関係してくるんだね！
でも、これ、理系の東大生でも意識的に気づいていない子いるんじゃないかな～。
すごいね！
増え方さえわかっていれば、次の値ってわかるよね。
これが、まあ、『積分』というやつ。聞いたことある？
そして、その反対で、どんな増え方をしてるのかな？って調べることが、
『微分』って言うの。
本当は、高校の最後で習うことだけどね」
Ｔ君： 「ふー、なんだか疲れたけど、面白かった！！」
本当は、もう少し微分積分の話しは、中身まで入ったのですが、
まあこんな感じです。
本当に、いろんな生徒さんがいて、
その子が何に開きかけているのか？
どうやったら、もっと興味を持つように、置き石をできるか？
エキサイティングな毎日です！
