数学マラソン 東大入試問題 ２

前回の数学マラソン　東大入試問題の続きです。

結局その後、１時間ほどみんなであーだこーだとやって、
４種類の解法を導き出しました。

１）　最初にぼくのやった、かなり泥臭いやり方

　　　そう、ぼくはエレガントにはできないのです。。。

　　　でも、自力で解答に来たのは、ぼくだけなのです。。。


　　　０の数で場合分け、（細かく言えば、その後１の数で。。。とやって帰納的に）

　　　要は、かなり算数チックです。

　　　逆に言えば、東大の入試問題も、算数の力でも解くことが可能！！

　　　公式なんて忘れてもいい！と常々ぼくが言っているのは、そういうことです。


２）　「同じ数が何組あるか？」というアプローチ

３）　２箱ならどうか？それを３箱に拡張するアプローチ

４）　重複順列を使うアプローチ

結果的には、４）が一番すごいね、ということになりました。
（模範解答は見ておりませんので、もっと良いのがあるかもしれません）


箱３つ、球６ｍ個の重複順列を考える　⇒　仕切りが２つと、球が６ｍ個と考える

　　（６ｍ＋２）！　　　　　　　　　　　（６ｍ＋２）（６ｍ＋１）
-------------------　　　＝　　-------------------------　　＝　（３ｍ＋１）（６ｍ＋１）
　　　２！６ｍ！　　　　　　　　　　　　　　　　　２


＝　１８ｍ＾２＋９ｍ＋１　　　　　　　　　（☆１）


しかし、これらはまだ重複を含んでいる。　　（０，１，５）　と　（１，０，５）は別々に数えてしまっている。

そこで、２）のやり方を適用して、

　　i)　３箱とも同数なのは、　（６ｍ／３、６ｍ／３、６ｍ／３）　　の１種類で、これは重複して数えていない

　　　　　　　　　　　　　　　　　　１通りは、☆１式では、最後の項の＋１に対応する


　　ii) ２箱同数なのは、　（０、０、６ｍ）　　などだが、これらは、☆１の式では、
　　　　３倍に評価してしまっている。

　　　　２箱同数なのは、本当は、（０、０、６ｍ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１、１、６ｍ－２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２、２、６ｍ－４）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（６ｍ／２、６ｍ／２、０）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　までの、３ｍ＋１通り
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ただし、それは i) の３箱同数を含んでしまっているので、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　純粋な２箱同数は、１通り引かなければならない）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　つまり、３ｍ通り

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これが、☆１式では、３倍に評価されているので、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　真ん中の９ｍの項がこれに対応する。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここが、９ｍではなく、３ｍとなるべきである。

　　iii) ３箱別数なのは、　（１、２、６ｍ－３）　　など。
　　　　　i), ii) までで、実はこの部分が、☆１式では、１８ｍ＾２の項に対応することが分かる。

　　　　　そして、この３箱別数の場合は、３！倍、多く評価されてしまっている。

　　　　　したがって、１８ｍ＾２／３！　＝　３ｍ＾２

i), ii), iii) を合わせて、

　　　３ｍ＾２＋３ｍ＋１　（通り）

つまり、最初の重複順列だけでは解決しなかったものを、
別のアプローチ（同数となる箱の数で場合分け）とハイブリッドすることで、
おどろくほどすっきりとしました！！


その後、重複順列の式が、ちょうどそれぞれの場合分けに対応している不思議について、

また、同じような問題が作れないか、

など、いろいろ話し合っていきました。



東大などの難関校を目指す、そして決して天才ではない人は、

ぜひ、こんな風にみんなでわいわい言いながら勉強してもらえたらと思います。



ちなみに、上記４種類の解法は、もう覚えていませんが、
上のキーワードがあれば、いつでも引き出して、再確認することができます。

数学は暗記だ！　　なんて思って、解答を丸暗記してはいけません。
（初学のうちは、それも必要ですが）

流れと、ポイントだけを覚えて、後は論理的に導き出せるようにしておけば、
脳はもっと、効率的に使うことができます。



ポチっとお願いします。

blogramランキング参加中！

明日もがんばります。