数学マラソン 東大入試問題 2
前回の数学マラソン 東大入試問題の続きです。
結局その後、1時間ほどみんなであーだこーだとやって、
4種類の解法を導き出しました。
1) 最初にぼくのやった、かなり泥臭いやり方
そう、ぼくはエレガントにはできないのです。。。
でも、自力で解答に来たのは、ぼくだけなのです。。。
0の数で場合分け、(細かく言えば、その後1の数で。。。とやって帰納的に)
要は、かなり算数チックです。
逆に言えば、東大の入試問題も、算数の力でも解くことが可能!!
公式なんて忘れてもいい!と常々ぼくが言っているのは、そういうことです。
2) 「同じ数が何組あるか?」というアプローチ
3) 2箱ならどうか?それを3箱に拡張するアプローチ
4) 重複順列を使うアプローチ
結果的には、4)が一番すごいね、ということになりました。
(模範解答は見ておりませんので、もっと良いのがあるかもしれません)
箱3つ、球6m個の重複順列を考える ⇒ 仕切りが2つと、球が6m個と考える
(6m+2)! (6m+2)(6m+1)
------------------- = ------------------------- = (3m+1)(6m+1)
2!6m! 2
= 18m^2+9m+1 (☆1)
しかし、これらはまだ重複を含んでいる。 (0,1,5) と (1,0,5)は別々に数えてしまっている。
そこで、2)のやり方を適用して、
i) 3箱とも同数なのは、 (6m/3、6m/3、6m/3) の1種類で、これは重複して数えていない
1通りは、☆1式では、最後の項の+1に対応する
ii) 2箱同数なのは、 (0、0、6m) などだが、これらは、☆1の式では、
3倍に評価してしまっている。
2箱同数なのは、本当は、(0、0、6m)
(1、1、6m-2)
(2、2、6m-4)
・・・
(6m/2、6m/2、0)
までの、3m+1通り
(ただし、それは i) の3箱同数を含んでしまっているので、
純粋な2箱同数は、1通り引かなければならない)
つまり、3m通り
これが、☆1式では、3倍に評価されているので、
真ん中の9mの項がこれに対応する。
ここが、9mではなく、3mとなるべきである。
iii) 3箱別数なのは、 (1、2、6m-3) など。
i), ii) までで、実はこの部分が、☆1式では、18m^2の項に対応することが分かる。
そして、この3箱別数の場合は、3!倍、多く評価されてしまっている。
したがって、18m^2/3! = 3m^2
i), ii), iii) を合わせて、
3m^2+3m+1 (通り)
つまり、最初の重複順列だけでは解決しなかったものを、
別のアプローチ(同数となる箱の数で場合分け)とハイブリッドすることで、
おどろくほどすっきりとしました!!
その後、重複順列の式が、ちょうどそれぞれの場合分けに対応している不思議について、
また、同じような問題が作れないか、
など、いろいろ話し合っていきました。
東大などの難関校を目指す、そして決して天才ではない人は、
ぜひ、こんな風にみんなでわいわい言いながら勉強してもらえたらと思います。
ちなみに、上記4種類の解法は、もう覚えていませんが、
上のキーワードがあれば、いつでも引き出して、再確認することができます。
数学は暗記だ! なんて思って、解答を丸暗記してはいけません。
(初学のうちは、それも必要ですが)
流れと、ポイントだけを覚えて、後は論理的に導き出せるようにしておけば、
脳はもっと、効率的に使うことができます。
ポチっとお願いします。
blogramランキング参加中!
明日もがんばります。
結局その後、1時間ほどみんなであーだこーだとやって、
4種類の解法を導き出しました。
1) 最初にぼくのやった、かなり泥臭いやり方
そう、ぼくはエレガントにはできないのです。。。
でも、自力で解答に来たのは、ぼくだけなのです。。。
0の数で場合分け、(細かく言えば、その後1の数で。。。とやって帰納的に)
要は、かなり算数チックです。
逆に言えば、東大の入試問題も、算数の力でも解くことが可能!!
公式なんて忘れてもいい!と常々ぼくが言っているのは、そういうことです。
2) 「同じ数が何組あるか?」というアプローチ
3) 2箱ならどうか?それを3箱に拡張するアプローチ
4) 重複順列を使うアプローチ
結果的には、4)が一番すごいね、ということになりました。
(模範解答は見ておりませんので、もっと良いのがあるかもしれません)
箱3つ、球6m個の重複順列を考える ⇒ 仕切りが2つと、球が6m個と考える
(6m+2)! (6m+2)(6m+1)
------------------- = ------------------------- = (3m+1)(6m+1)
2!6m! 2
= 18m^2+9m+1 (☆1)
しかし、これらはまだ重複を含んでいる。 (0,1,5) と (1,0,5)は別々に数えてしまっている。
そこで、2)のやり方を適用して、
i) 3箱とも同数なのは、 (6m/3、6m/3、6m/3) の1種類で、これは重複して数えていない
1通りは、☆1式では、最後の項の+1に対応する
ii) 2箱同数なのは、 (0、0、6m) などだが、これらは、☆1の式では、
3倍に評価してしまっている。
2箱同数なのは、本当は、(0、0、6m)
(1、1、6m-2)
(2、2、6m-4)
・・・
(6m/2、6m/2、0)
までの、3m+1通り
(ただし、それは i) の3箱同数を含んでしまっているので、
純粋な2箱同数は、1通り引かなければならない)
つまり、3m通り
これが、☆1式では、3倍に評価されているので、
真ん中の9mの項がこれに対応する。
ここが、9mではなく、3mとなるべきである。
iii) 3箱別数なのは、 (1、2、6m-3) など。
i), ii) までで、実はこの部分が、☆1式では、18m^2の項に対応することが分かる。
そして、この3箱別数の場合は、3!倍、多く評価されてしまっている。
したがって、18m^2/3! = 3m^2
i), ii), iii) を合わせて、
3m^2+3m+1 (通り)
つまり、最初の重複順列だけでは解決しなかったものを、
別のアプローチ(同数となる箱の数で場合分け)とハイブリッドすることで、
おどろくほどすっきりとしました!!
その後、重複順列の式が、ちょうどそれぞれの場合分けに対応している不思議について、
また、同じような問題が作れないか、
など、いろいろ話し合っていきました。
東大などの難関校を目指す、そして決して天才ではない人は、
ぜひ、こんな風にみんなでわいわい言いながら勉強してもらえたらと思います。
ちなみに、上記4種類の解法は、もう覚えていませんが、
上のキーワードがあれば、いつでも引き出して、再確認することができます。
数学は暗記だ! なんて思って、解答を丸暗記してはいけません。
(初学のうちは、それも必要ですが)
流れと、ポイントだけを覚えて、後は論理的に導き出せるようにしておけば、
脳はもっと、効率的に使うことができます。
ポチっとお願いします。
blogramランキング参加中!
明日もがんばります。