数学マラソン 東大入試問題

これができれば、あなたも東大合格?

箱が3つあります。

ボールが、6m個(mは自然数)あります。

箱もボールも、それぞれを区別しないとして、

ボールの入り方は、何通りあるでしょう?

素朴な問題ですね。

さて、今回の数学マラソンで、これに挑戦したのは、

  A君: 某有名進学校の3年生

  B君: 東大経済学部4年生

  C君: 東大経済学部4年生

  ぼく: このレベルの問題は、およそ20年ぶりだなあ


A君は、さすが受験生。パターンをよく知っていますね。

ボールと、仕切りに注目して、重複順列で始めました。


残り3人は、そう簡単には決めつけない。

まずは実験です。

m=1として、

(0,0,6)、(0,1,5)、(0,1,4)、。。。。と書き出し始めました。


A君: 重複順列として、
  (6m+2)!
--------------------
   2!6m!

ここまでは良いのですが、そして、それを計算して、

18m^2+9m+1

まではいいのですが、これでいいのかどうなのか。。。


B君: 3箱とも同数の場合と、2箱同数の場合と、全部バラバラの場合で場合分けを始めました。

  i ) 3箱とも同数:  (6m/3, 6m/3, 6m/3)  の1通り

  ii) 2箱同数:    ここで手こずっているようでした。

  iii) 全部バラバラ: ここでも手こずっているようでした。


C君: やはり重複順列に注目して、ただし、それでもどういうものを数え過ぎているのか。。。


ぼく: 最初は、素直に、それぞれの球が3通りの箱を選ぶから、3^6m。
    だけど、そっからどうしようか。。。


    次に、0の数に注目してみました。

  i) 0が2個:     (0, 0, 6m/2)   1通り

  ii) 0が1個:     (0, 1, 6m-1)
               (0, 2, 6m-2)

               (0, 6m-2, 2)
               (0, 6m-1, 1)

              つまり、2箱目の数が決まれば、3箱目は自動的に決まる。
              2箱目の入り方は、6m-1通り(奇数)で、重複を除くと、3m通り

  iii) 0が0個:     ii)の考え方を応用して。。。

  ごりごりですが、何とかゴールまで辿り着きました!(なんとぼくだけ!)


その後、またみんなで、それぞれの考えを言いながら、

よりよい解法を探っていきました。

それについては、また書きますが、


象徴的だったのは、「数学ってこうやれば、できるようになるんですね!」

そう、数学に限らず、ぼくはこんな風に(みんなで、あーだこーだ言いながら)しか

まともに勉強しなかったし、

逆にそんな風に学校の放課後、みんなでわいわい勉強してたから、

20年経ってもできちゃうわけです。

それは、お互いの考え方の癖もわかったり、自分では到底できないことができたり。。。

一人で苦しむのが、勉強の本来の姿ではないと思っています。



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明日もがんばります。


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